Elementos de análise matemática II

Abstract

Bem-vindo ao módulo ANÁLISE MATEMÁTICA II “...E nunca considere seu estudo como uma obrigação, mas sim como uma oportunidade invejável de aprender, sobre a influência libertadora da beleza no domı́nio do espı́rito, para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade à qual pertencerá o seu trabalho futuro.” Albert Einstein Nos dias actuais a principal ferramenta utilizada para auxiliar no pensamento é o computador. Este instrumento foi desenvolvido, basicamente, por engenhei- ros, fı́sicos e matemáticos. Na primeira metade do século XX a história das máquinas de computação envolveu mais estatı́sticos, fı́sicos e engenheiros eléctricos que matemáticos. Máquinas de calcular de mesa e sistemas de cartões perfurados eram indispensáveis para negócios, bancos e para as ciências sociais. A régua de calcular tornou-se o sı́mbolo do engenheiro; e integradores de vários tipos eram usados por fı́sicos, geodesistas e estatı́sticos. A situação mudou por volta de 1940 por causa do envolvimento de matemáticos no esforço de guerra. Embora a maior parte do esforço viesse de fı́sicos e engenheiros, numerosos matemáticos jovens desempenharam um papel no desenvolvimento do computador electrónico digital automático. Três desses matemáticos de destaque são John Von Neumann (1903-1957), Norbert Wiener (1894-1964) e Alan Turing (1913-1954). A sociedade actual tem tratado o computador com extrema importância. Com ele, profissionais como cientistas e engenheiros de computação, programadores, analistas de sistemas, etc. têm ocupado posição de destaque. Todos esses profissionais têm como base disciplinas como lógica, algoritmos, estrutura de dados, matemática discreta, geometria, estatı́stica, etc., e todas estas disciplinas estão fundamentadas na matemática descoberta ao longo dos séculos anteriores. Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas e eficientes. As empresas têm buscado cada vez mais profissionais com esse perfil, pois os desafios actuais são cada vez maiores e exigem conhecimentos mais sólidos. A geometria é uma grande aliada no processo criativo de um profissional em computação, já que facilita a abstração do mundo real, permitindo que novos modelos sejam criados com muita facilidade e precisão. No universo dinâmico da era actual, não dá para pensar em viver sem estes conhecimentos básicos, principalmente os profissionais da área de computação, sejam eles mais técnicos ou voltados ao gerenciamento de projectos. Esta base é diferencial em profissionais que querem alcançar o sucesso, mas também é fundamental para a sobrevivência dos dias actuais, pois a quantidade de informação é gigantesca e os avanços tecnológicos são extremamente rápidos. Pode- se dizer então que para compreender o mundo contemporâneo é necessário acompanhá-lo e para isto a matemática, aliada à computação, tornou-se linguagem imprescindı́vel. O presente módulo Análise Matemática II é continuação do módulo Análise Matemática I. É composto de quinze unidades. Cada unidade tem uma componente teórica, reforçada de exemplos claros e ilustrativos, que permitem assimilar rapidamente os conceitos, definições e teoremas expostos. Seguem-se exercı́cios de aprofundamento e consolidação do material. No final de cada unidade temos exercı́cios e perguntas para autoavaliação. O Cálculo Diferencial foi o principal tópico abordado no módulo Análise Matemática I. Alguns problemas na Matemática exigem que se determine uma função a partir da informação que se possui sobre a sua derivada. Isto pode ser visto como uma operação inversa da derivação. O processo de reconstrução duma função a partir da sua derivada chama-se integração. Já na antiguidade os anciãos da Babilónia estavam preocupados com o cálculo de áreas de regiões planas como o cı́rculo, que não são limitadas por linhas rectas. A abordagem moderna para o cálculo de tais áreas está intimamente relacionada com a integração. Propriedades adicionais do conceito de integral serão abordadas. Para além de fornecermos uma introdução à integração, iremos também mostrar que os conceitos e resultados sobre o integral possuem importantes aplicações. Apresentamos uma breve introdução às técnicas de integração por partes e substituição, comummente usadas. Algumas dificuldades que surgem quando se integra num intervalo infinito ou quando a função a ser integrada torna-se igual a infinito num certo ponto do intervalo de integração serão investigadas. As funções a uma variável não cobrem todas as dependências existentes na natureza. Por exemplo, a procura de um produto como o sumo de laranja depende do seu preço, do salário do consumidor e dos preços dos produtos substitutos, tais como refrigerantes. Por isso mesmo, torna-se necessário alargar a noção sobejamente conhecida de dependência funcional e introduzir a noção de função a várias variáveis. As aulas são teórico-práticas pelo que são compostas de: uma parte expositiva, onde são apresentados conceitos fundamentais das diferentes matérias do programa juntamente com a demonstração dos principais resultados, pretendendo-se assim que os alunos adquiram uma visão global dos temas abordados e suas interligações; uma componente prática, onde os alunos aplicarão os conhecimentos adquiridos melhorando a sua compreensão das matérias leccionadas.